ملخص الجهاز:
"اول بوسیله شمارش عناصر مجموعهها که در اینصورت میگوئیمهر مجموعه دارای سه عنصر است دوم از راه ترکیب هریک از عناصر 1 S بایکی از عناصر 2 S مثلا M-C L-B K-A اگر کلیه حالات ممکنه ترکیب عناصر دو مجموعه 1 S و 2 S رابنویسیم 6 حالت زیر بیشتر وجود ندارد.
اگر بخواهیم اندازۀ AO را بدست آوریم طبق قضیه فیثاغورت داریم 2-2 1+2 1-2 AO پس نقطه A متعلق بعددی است که اگر آنرامجذور کنیم برابر 2 میشود میدانیم که 0-2 0 و 1-2 1 پس AO مسلماصفر و یک نیست و هر عدد دیگری(مثلا 2)را مجذور نمائیم از 2 بزرگتر میشودحال فرض میکنیم که عدد A برابر کسر q/p باشد بنحویکه p و q نسبتبهم اول باشند(دارای مضرب مشترک نباشند)پس 2-2 q/2 p یا 2 q 2-2 p چون p دو برابر عدد q است پس عددی است زوج و نظر باینکه p و q دارای مضرب مشترک نیستند بنابراین q الزاما عددی است فرد.
)S???iS:iS(-R R را توان یا قدرت مجموعه S مینامند و آنرا با )S(R نمایش میدهند ترتیب زوجی میگوئیم )a,b( مجموعهای است دارای دو عنصر و میتوانیمبنویسیم )a,b(-)b,a( یعنی این دو مجموعه هم ارز یا معادلندو نظم و ترتیب عناصر در نظر گرفته نمیشوند.
بعبارتدیگر )a,a( یک ترتیب زوجی است در حالیکه مجموعه )a,a( را باید با )a( نمایش داد(زیرا در تعریف مجموعه دیدیم که در نوشتنمجموعه عناصر تکرار نمیشوند)و در نتیجه اگر b?-a باشد بنابراین )a,b(?-)b,a( .
(به تصویر صفحه مراجعه شود)شکل 2 هرگاه مجموعه(3,2,1) -S موجود باشد برای بدست آوردنتعداد ترکیبهای زوجی آن باید در نظر داشت که در هر ترتیب زوجی درمحل برای قرار گرفتن هریک از عناصر وجود دارد چون مجموعه مرکباز سه عنصر است پس هر عنصر سه نوع میتواند با سایر عناصر ترکیب شود وجمعا 9-2 3-3*3 ترتیب زوجی موجود بدست میآید."