Abstract:
گودل طی مقاله مفصلی در 1931 برهان پیچیده و نبوغآمیزی بر ناتمامیت ریاضیات مطرح ساخت. در آن قضیه گودل نشان داده بود که در هر سیستم اکسیوماتیک شامل حساب (تحت شرایط خاصی)، گزارههایی تصمیمناپذیر وجود دارند. ایده به کار رفته در برهان گودل شبیه پارادوکس ریچارد است، و همین باعث شده است که عدهای در پذیرش آن تردید کنند. در این مقاله نخست نگاهی اجمالی به برهان گودل میاندازیم، تا مشخص شود که این برهان دچار تعارضات ناشی از خودـارجاعی نمیشود. در ادامه به یکی از تبعات فلسفی آن میپردازیم. نشان خواهیم داد که این برهان در کنار استدلال معروف «تعین ناقص»، واقعگرایی در فیزیک را با تردیدهایی روبهرو میسازد.
Machine summary:
(Presburger ١٩٣٠ و ١٩٣١ Skolem) نکتۀ جالب دیگر این که گودل هنگام کار روی اثبات قضیۀ اول ناتمامیت خود (١٩٣١)، از طریق عدددهی مبتنی بر «قضیۀ باقیماندٔە چینی» به دنباله های متناهی، نشان داد که توابع اولیۀ جمع و ضرب تنها توابع اولیه ای اند که باید در قالب اصل موضوع تعریف شوند و پس از این که آن ها را پذیرفتیم ، به کمک شمای اصل استقرا قادر خواهیم بود تمام توابع بازگشتی دیگر (توان ، فاکتوریل و..
مثال : (رجوع شود به تصویر صفحه) بنابراین G می گوید که هیچ برهانی برای قطری شدٔە U وجود ندارد؛ یعنی در واقع G می گوید قطری شدٔە U (که همان خود G است ) قابل اثبات نیست .
برای آشنایی بیش تر با جزئیات برهان گودل و ویرایش های مختلف قضیه اول ناتمامیت ، و نیز واقع گرایی در فیزیک فیزیک با واقعیت سروکار دارد و همواره نسبت خود را با واقعیت که گاهی پررنگ تر و گاهی کم رنگ تر می شود حفظ می کند.
اگر بتوان نشان داد که دو نظریۀ رقیب نه تنها در تمام موارد تا کنون مشاهده شده ، بلکه در تمام موارد ممکن ، نتایج یکسانی به دنبال دارند، آن گاه می توان ادعا کرد که این دو نظریه در حقیقت یک نظریه اند که به دو زبان یا به دو شکل متفاوت بیان شده اند؛ و این در حالتی است که منطقا ممکن باشد سرانجام به «نظریۀ همه چیز» دست یابیم .