Abstract:
منطق پیوسته تعمیمی از منطق کلاسیک به یک منطق با مجموعه مقادیر درستی بینهایت مقداری است. بسیاری از نتایج منطق کلاسیک و نظریه مدلِ آن به منطق پیوسته تعمیم داده شدهاند. منطق پیوسته نه تنها در بررسی و تحلیل خواص ساختارهای مباحث آنالیز ریاضی کاربردهای فراوانی دارد، بلکه باعث بوجود آمدن نگرشهای جدیدی در نظریه مدل منطق کلاسیک نیز شده است.در مقاله حاضر مروری خواهیم داشت بر سیر تکاملی منطق پیوسته از روی منطقِ چندمقداریِ لوکاسیویچ. سپس بعضی از مهمترین خواص اولیه منطق پیوسته را بیان میکنیم. در انتها با توجه به تحلیلی که از مفهوم پیوستگی در منطق پیوسته با توجه به مجموعه مقادیر درستی داریم، نوعی از منطق پیوسته که مبتنی بر نرمهای مثلثی پیوسته است را معرفی خواهیم کرد. این موضوع به معرفی منطقهای پیوسته مبتنی بر منطقهایی مثل منطق گودل و حاصلضربی میانجامد. در انتها به بررسی بعضی از خواص این منطقها از جمله خاصیت فشردگی خواهیم پرداخت
Continuous logic is generalization of first order logic to a many valued logic with an infinitary truth value set. Many of the results of classic logic and it's model theory have been generalized to continuous logic. Continuous logic not only has many uses in the mathematical analysis and in the model theory of mathematical analysis structures, but also has created new attitudes in classical model theory. Firstly, the present paper study the development of continuous logic from Łukasiewicz logic. Then we have a review on some of the most important basic results of continuous logic, including the completeness of the proof system and the compactness theorem. Finally, according to the concept of continuity with respect to the truth value set, we will introduce a kind of continuous logic that is based on continuous t-norm based fuzzy logics. This will lead to the introduction of two kinds of continuous logics based on Godel logic and product logic. Then we developed some of the results of continuous logic such as the compactness theorem for these two logics.
Machine summary:
برای مثال، لوکاسیویچ تابع درستی رابط منطقی استلزام را برای دو گزارۀ φ و ψ بهشكل زیر تعریف کرد: ـ وقتي ارزش ψ برابر «درست» و يا ارزش φ برابر «نادرست» است حتماً ارزش φ→ψ برابر درست خواهد بود؛ ـ بهعلاوه وقتي مقدم «درست» ولي تالي «ممكن» باشد و نيز وقتي مقدم «ممكن» و تالي «نادرست» باشد ارزش گزاره φ→ψ برابر «ممكن» تعريف شد؛ ـ اگر هر دو گزارۀ φ و ψ ارزش «ممكن» داشته باشند، باتوجهبه اين واقعيت كه در منطق كلاسيك گزارۀ A→A همانگوست، ارزش φ→ψ را «درست» در نظر گرفت؛ ـ شبیه منطق کلاسیک مقدم «درست» و تالی «نادرست» نتیجۀ «نادرست» را برای ارزش φ→ψ میدهد؛ بنابراين جدول درستي رابط منطقي «استلزام» بهصورت شكل 1 است: (به تصویر صفحه مراجعه شود) شكل 1.
طرح اثبات چانگ برای اینکه نشان دهد هر گزارۀ درستی در منطق لوکاسیویچ بینهایتمقداریِ مبتنیبر مجموعۀ مقادير درستی [0,1] بهکمک اصول فوق و قاعدۀ وضع مقدم قابلاثبات است بهصورت زیر بود: ـ باتوجهبه اینکه رابطۀ «باشد اثبات قابل ↔، اگر و فقط اگر ∼» رابطۀ همارزی روی مجموعۀ گزارههاست، مجموعۀ کلاسهای همارزی آن، یعنی مجموعۀ { φ :است گزاره φ} را با تعریفهای زیر میتوان به یک MV ـ جبر تبدیل کرد: ـ {مراجعه شود به فایل جدول الحاقی} ـ يك MV ـ جبر ساختاري جبري است مثل (A,+,−,0) كه + يك عملگر دوتايي و – يك عملگر تكموضعي روي A و 0 يكي از عناصر A است كه در خواص زير صدق ميكنند: {مراجعه شود به فایل جدول الحاقی} مثلاً [0,1] با دو عمل x⊞y=min(1,x+y) و ⊟x=1−x يك MV ـ جبر است كه آن را MV ـ جبر استاندارد مينامند؛ ـ روي هر MV ـ جبر (A,+,−,0) رابطۀ ترتيبي جزئي بهصورت زير قابلتعريف است: (به تصویر صفحه مراجعه شود) بهعلاوه هر MV ـ جبري زيرجبرِ حاصلضرب مستقيم چند MV ـ جبر مرتب خطي است؛ ـ هر تساوي در زبان MV ـ جبرها در MV ـ جبر استاندارد درست است، اگر و فقط اگر در همۀ MV ـ جبرهاي مرتب خطي درست باشد (بخش اصلي مقالۀ چانگ براي اثبات همين موضوع اختصاص يافته بود.