چکیده:
بررسی انواع مصادیق یک مفهوم، یکی از مؤثرترین راههای درک آن مفهوم است. این مقاله به بررسی انواع تبیین ریاضیاتی و معرفی چند نوع جدید میپردازد. در فلسفهی ریاضیات معمولا از دو نوع تبیین سخن گفته میشود: تبیینهای درونی و بیرونی. تبیینخواه در این دو نوع تبیین، به ترتیب، پدیدههای طبیعی و ریاضیاتی است. بنابراین مبنای تقسیم و تمایز نوع تبیینخواه است. گاهی نیز، بر مبنای راهبرد تبیین، دو نوع تبیین موضعی و فراگیر را از هم متمایز میکنند. اما به نظر میرسد که میتوان انواع بیشتری از تبیینهای ریاضیاتی را از هم متمایز کرد و از این طریق درک بهتری از آن به دست آورد. مثلا تبیینهای ریاضیاتی برهانی و غیربرهانی را میتوان از هم تفکیک کرد. این دو نوع تبیین، به ترتیب، در فرآیند اثبات و فرآیندهایی مثل ایدهآلسازی و نظریهپردازی ریاضیاتی ارائه میشوند. میتوان گفت که مبنای تقسیم در اینجا نقش شناختی و نظری تبیینهاست. افزون بر اینها، باید تبیینهای نمادی و غیرنمادی، و نیز تبیینهای اجتنابپذیر و اجتنابناپذیر را از یکدیگر متمایز کرد. بعضی از تبیینها را میتوان از فرآیند یک استدلال یا ایدهآلسازی حذف کرد، بدون آنکه خللی به آن فرآیندها وارد آید. این نوع تبیینها صرفا با اهداف عملگرایانه یا آموزشی ارائه میشوند. اما برخی دیگر به گونهای هستند که بار اصلی تبیین بر دوش آنهاست یعنی در فرآیند استدلال یا ایدهآلسازی تعیینکننده و اجتنابناپذیرند. در این مقاله تلاش میشود تا این ده نوع تبیین ریاضیاتی با ذکر مثالهای مختلف معرفی و از هم متمایز شوند.
One good way to grasp the concepts is to study their instances. This article examines the types of mathematical explanation and introduces several new types of it. The two famous types of mathematical explanation are internal and external explanations. The local–holistic distinction is also a distinction used in philosophy of mathematics as a strategy of explanation. But it seems that we can distinguish a greater variety of mathematical explanations and thereby gain a better understanding of it. For example, demonstrative and non-demonstrative explanations can be separated. These two explanations are given, respectively, in the process of proving and such processes as modeling and idealization. This division is based on the theoretical or cognitive role of explanations, we can say. Moreover, we must separate the symbolic from the non-symbolic, the avoidable from the unavoidable, explanations. Some explanations can be removed from a process of reasoning, without prejudice to that process. They are given for educational or pragmatic purposes. But others are not avoidable, because the main burden of explanation is on them. This article separates this ten explanations and introduces several new types with different examples
خلاصه ماشینی:
"اما اگر مراد از «تبیین» توضیح چرایی یک حقیقت ریاضیاتی بر اساس نوعی ارتباط غیرعلی بین حقایق ریاضیاتی باشد چه؟ مثلا آیا تبیین بر اساس قوانین ریاضیاتی بین حقایق ریاضیاتی واقعا ناممکن است؟ یعنی شبیه به آنچه که در تبیین قیاسی– قانونی بین تبیینخواه و تبیینگر برقرار است، با این تفاوت که تبیین در اینجا بر اساس قوانین ریاضیاتی، به جای قوانین علمی، شکل بگیرد؟ آیا توضیح یک فرآیند اثبات ریاضیاتی، بر اساس روابط صوری و نحوشناختی، تبیین محسوب نمیشود؟ آیا اگر مراد از «تبیین» وحدتبخشی باشد باز هم میتوان به سادگی منکر امکان و ضرورت تبیین ریاضیاتی شد؟ روشن است که پاسخ هیچکدام از این پرسشها، حتی اگر منفی باشد، ساده نیست.
تبیینهای درونی را در سایر نظریههای ریاضیاتی نیز میتوان دید، مثلا در اثبات این قضیه از نظریهی اعداد: قضیهی بسته بودن زوجیت: جمع دو عدد زوج، مثل a وb، زوج است.
اما همانطور که گفتیم تلقی ما از تبیین در این مقاله کلیترین معنای ممکن از تبیین است و بنابراین آنها را به عنوان دو نوع تبیین ریاضیاتی معرفی میکنیم که به جهت راهبرد تبیینی متفاوت از هم متمایز شده اند.
در مقابل، نوع دیگری از تبیینهای ریاضیاتی هستند که بهتر است آنها را غیربرهانی<FootNote No="53" Text=" Non-demonstrative"/> بنامیم چون نه در درون یک استدلال یا اثبات خاص بلکه به منظور تبیین روابط انتزاعی یک نظریهی علمی یا ریاضیاتی مورد استفاده قرار میگیرند."