چند روشن‌گری در مورد منطق مقاله

در ابتدا برخی موضوع‌های بحث‌ برانگیز در حوزۀ منطق ریاضی را بررسی می‌کنیم. این‌ها موضوع‌هایی هستند که معمولاً غیرمتخصصان را به دردسر و‌ گاهی اشتباه می‌اندازند. موضوع‌های عمده‌ای که در این راستا به آن‌ها خواهیم پرداخت عبارتند از: تعریف صدق تارسکی، قضیۀ تعریف‌ناپذیری صدق تارسکی، قضیۀ تمامیت گودل و قضیه‌های ناتمامیت گودل، منطق مرتبۀ اول و ‌مرتبۀ دوم. در ادامه، به معرفی برخی منطق‌های غیرکلاسیک و جایگاه آن‌ها در منطق فلسفی و همچنین منطق در علوم کامپیوتر می‌پردازیم. افزون بر آن، برخی موضوع‌های فلسفی مرتبط به منطق را به بحث می‌گذاریم. از زمرۀ این موضوع‌ها، پرسش از چیستی منطق، تفاوت منطق و دستگاه منطقی و چالش یگانه‌گرایی در مقابل کثرت‌گرایی در انتخاب منطق است. با تفکیک منطق از دستگاه منطقی، از این دیدگاه دفاع خواهیم کرد که منطق ریاضی به عنوان بخشی از ریاضیات، تنها می‌بایست متعهد به رعایت استانداردهای خود ریاضیات باشد. در این راستا، هر یک از دستگاه‌های منطق غیرکلاسیک که این استانداردها را رعایت کند، مشروعیت خواهد داشت.

We first look at some controversial issues in mathematical logic. These issues are often confused by non-specialists. The main topics that we will address in this regard are: Tarski's definition of truth, Tarski's theorem on undefinability of truth, Godel's completeness theorem and Godel's incompleteness theorems, and first and second-order logic. Next, we will introduce some non-classical logics and their place in philosophical logic as well as logic in computer science. In addition, we discuss some philosophical issues related to logic. Among the issues we discuss are the definition of logic, the difference between logic and logical system, and the challenge of monism versus pluralism in the choice of logic. By separating logic from logical systems, we will defend the view that mathematical logic, as part of mathematics, should only be committed to the standards of mathematics. In this regard, any non-classical logic system that meets these standards will have legitimacy.

البته برخی از این منطق ها از پـیش نیز با انگیزه های عمدتاً فلسفی مطالعه شده بودند، اما مطالعۀ آنها از دید ریاضی جدید اسـت . این ها موضوعاتی هستند که هم در مجلـه هـای پژوهشـی منطـق ریاضی چاپ میشوند، و هم بر حسب مورد در مجله های منطق فلسفی یا مجلـه هـایی کـه به منطق در علوم کامپیوتر میپردازند، منتشر میشوند. یک تعبیـر برای یک زبان مرتبه اول را میتوان چونان تابعی در نظر گرفت که بـه سـورهای زبـان یـک مجموعۀ ناتهی به عنوان دامنه نسبت میدهد و بـه نمادهـای ثابـت ، تـابعی و محمـولی، بـه ترتیب اعضایی متمایز از دامنه ، تابع هـای تعریـف شـده بـر دامنـه از چنـدگانگی مناسـب ، و رابطه هایی با چندگانگی مناسب تعریف شده بر دامنه را نسبت میدهد. ایـن قضیه که میتوان آن را شکل نمادی شدة پارادوکس دروغگودانست ، تاکید مجددی است بـر اینکه نمیتوان به کمک فرمولی در زبان مرتبۀ اول حساب ، صدق فرمول هـای حسـابی را در خود آن زبان تعریف کرد. امـا ایـن تمامیـت بـه چـه معنـی است ؟ در اینجا تمامیت به این معنی است که قضیه بودن یک فرمول ، یعنی از اصول منطقـی و به کمک قواعد اثباتی قابل استنتاج بودن ، هم ارز صادق بـودن در همـۀ تعبیرهـای ممکـن زبان مورد بحث است ، نوعی تناظر بین «صادق در همۀ تعبیرها» و «اثبات پذیری». اما به جـز ایـن ، بـه دلایـل مختلـف در طـول تـاریخ دستگاه های مختلفی برای منطق ارائه شده اند که با منطق مورد نظر فرگـه کـه بـه نـام منطـق کلاسیک یا استاندارد مشهور شده ، متفاوتند.