چکیده:
ساده ترین و معمول ترین روش برای مقایسه ی دو متغیر تصادفی استفاده از میانگین ها و واریانس هاست . در بسیاری از حالت ها ممکن است میانه ی متغیر تصادفی X بزرگ تر از میانه ی متغیر تصادفی Y باشد در صورتی که میانگین X کوچک تر از میانگین Y است . مسئله ی مشابه وقتی اتفاق می افتد که هدف ، مقایسه ی پراکندگی جامعه ها باشد. اگر X و Y بر طبق یک ترتیب تصادفی مناسب مرتب شده باشند ناهماهنگی بالا به وجود نمی آید. در بسیاری از حالت ها مقایسه ی مشخصات تابعی از توزیع های احتمال تحت مطالعه ، مانند توابع توزیع ، توابع نرخ خطر، توابع میانگین باقیمانده ، توابع معکوس یا توابع چندک و توابع مناسب دیگر بسیار مفیدتر از مقایسه بر اساس چند معیار عددی از توزیع هاست . مقایسه ی متغیرهای تصادفی با استفاده از توابع یاد شده در بالا معمولا ترتیبی جزئی میان توزیع های احتمال به وجود می آورد. این مقایسه ها را ترتیب تصادفی می نامیم . در این مقاله ضمن ارائه ی مفاهیم و قضیه های مرتبط با نظریه ی ترتیب پراکندگی، مثال ها و کاربردهایی از نظریه ی یاد شده ارائه می شود. به طور خاص به مقایسه ی تصادفی آماره های مرتب و فاصله ها با استفاده از نظریه ی بالا می پردازیم . همچنین حالت هایی که مشاهدات توزیع یکسان داشته باشند یا نه ، مورد مطالعه قرار می گیرند و در بیش تر حالت ها فرض می کنیم که مشاهدات مستقل اند.
خلاصه ماشینی:
"تعریف 2 میگوییم متغیر تصادفی Y در ترتیب نرخ خطر از X کوچکتر است (X?<Y) اگر (?x)?G/(?x)?F(3) نسبت به ?x صعودی باشد.
تعریف 5 میگوییم متغیر تصادفی Y در ترتیب پراکندگی از X کوچکتر است (X?<Y) اگر 1<?B?<?a<0,(?a)1-F-(?B)1-F?<(?a)1-G-(?B)1-G(4) همچنین در صورت وجود تابعهای چگالی احتمال، X psid?<Y اگر و فقط اگر برای هر (1,0)?ep داشتهباشیم: .
با توجه به رابطهی(5)،رابطهای اساسی و بنیادی میان ترتیب نرخ خطر و ترتیب پراکندگی وجود دارد،به بطور واضحتر در نتیجهی زیر که در باگای و کوچار(1986)آورده شده است این رابطه ارائه میشود.
قضیهی 1 با این فرض که X و Y دو متغیر تصادفی نامنفی باشند: آ)اگر X rh?<Y و F یا G ،نرخ خطر نزولی (RFD) باشند،آنگاه X psid?<Y ؛ ب)اگر X psid?<Y و F یا G نرخ خطر صعودی (RFI) باشند،آنگاه X rh?<Y .
قضیهی 2 فرض کنید ?aX متغیری تصادفی با تابع توزیع ?aF برای هر ?R?ea باشد به طوری که آ) aF روی بازهی (?,0)?(+(a)?x,-(a)?x) معتبر بوده و af تابع چگالی احتمال آن رویهیچ یک از زیر بازههای (+(a)?x,-(a)?x) صفر نباشد؛ ب)با در نظر گرفتن a?F به عنوان مشتق aF نسبت به a به شرط موجود بودن آن برای هر ?R?e*a,a و *a>a ، ,*aX psid?>aX(7) اگر و فقط اگر، (?x)af/(?x)a?F نسبت به ?x نزولی باشد.
در این صورت برای n?<j<1 داریم، n:jX?<n:1X از این نتیجه در مییابیم که در میان همهی سیستمهای n-fo-tuo-k ساخته شده از مؤلفهی مستقل RFD ،سیستم سری کم پراکندهترین است ولی بیشترین نرخ خطر را دارد.
sserP cimedacA morf sgnicaps fo dna scitsitats redro fo snosirapmoC."